|
-🧔 Cand iti vine sa bati copilul gandindu-te ca e un autentic antitalent la matematica... apare figura blanda a lui Jean Piaget: "gandirea abstracta INCEPE sa se formeze in jurul varstei de 11 ani" (cu putin ecou 😊)...
Divizor
Ce inseamna "10 este divizibil cu 2"? Inseamna ca 10 se imparte exact la 2, adica:
10 : 2 = 5 rest 0 => 10 = 2 x 5 => 2 | 10
Putem spune, de asemenea, ca 10 este un multiplu al lui 2.
11 nu este divizibil cu 4, pentru ca:
11 : 4 = 2 rest 3 => 11 = 4 x 2 + 3 => 3 NU divide 11 si nici 11 nu este un multiplu al lui 4
Cred ca notiunea de divizor este destul de clara. Problemele apar atunci cand trecem la litere... Aici intervine vorba lui Jean... Piaget.
Cand vorbim despre un numar pe care nu il cunoastem, ii putem da un nume, de exemplu: a.
Sa zicem ca a este un numar natural! Acum, daca spun "a", ar trebui sa vad in mintea mea orice numar natural!
Asta inseamna ca a nu este un simplu numar ci, mai degraba, O MULTIME:
a natural ==> {0, 1, 2, 3, ... ∞}
"a" ar putea primi niste reguli suplimentare. De exemplu: daca spun ca a este par, multimea tuturor numerelor intregi ar trebui sa se transforme, in imaginatia mea, in multimea:
a par ==> {0, 2, 4, ... ∞}
Mai multe litere inseamna mai multe multimi si, de cele mai multe ori, mai multe reguli asociate. De aici vin multe dificultati...
Revenind la divizor, sa generalizam... cu litere:
Daca d este un divizor al lui a, atunci a : d = p rest 0 => a = d x p
In ce ar trebui sa se transforme povestea asta in mintea noastra?
1) a ==> Multimea tuturor numerelor
2) d ==> Pentru fiecare numar a, vedem multimea tuturor divizorilor sai
3) p ==> Pentru fiecare divizor d, vedem ca exista un numar p, cu proprietatea: a = d x p
Adica, ceva de acest tip (cum se zice acum: "gen" 😊):
a = 1 => 1 = 1 x 1;
a = 2 => 2 = 1 x 2; 2 = 2 x 1;
a = 3 => 3 = 1 x 3; 3 = 3 x 1;
a = 4 => 4 = 1 x 4; 4 = 2 x 2; 4 = 4 x 1;
a = 5 => 5 = 1 x 5; 5 = 5 x 1;
a = 6 => 6 = 1 x 4; 6 = 2 x 3; 6 = 3 x 2; 6 = 6 x 1;
........
∞
Pentru cristalizarea unei astfel de imagini... trebuie timp...
Cel mai mare divizor comun
Consideram doua numere a si b. Ce inseamna ca ele au un divizor comun, numit d? Destul de simplu:
a = d x p si b = d x q; cu alte cuvinte: atat a, cat si b, se impart exact la d
Atentie! Cel mai mare divizor comun al numerelor a si b va fi notat: (a,b).
Dar ce inseamna ca D este CEL MAI MARE divizor comun al lui a si b?
Ca e divizor comun, asta e clar. Cel mai mare inseamna ca nu exitsa altul mai mare decat el, evident, dar ce rezulta de aici?
a = D x p si b = D x q SI, ATENTIE: (p,q)=1 ADICA p si q sunt numere prime intre ele
Pai, de ce sa fie prime intre ele? Sa zicem ca nu ar fi prime intre ele, atunci ar avea si ele un divizor comun, sa-i zicem e =>
p = e x u si q = e x v =>
a = D x e x u si b = D x e x v =>
Atat a cat si b ar fi divizibile cu D x e => Cel mai mare divizor comun nu ar mai fi D, ci D x e.
Deci, daca (p,q)>1, atunci D nu mai este cel mai mare divizor comun, dar noi am plecat de la ideea ca este!
Si? In capul nostru... ce vedem? Pffffff:
(2,4) = D = 2 => 2 = 2 x 1 si 4 = 2 x 2 cu (1,2)=1; (2,6) = D = 2 => 2 = 2 x 1 si 6 = 2 x 4 cu (1,4)=1; ... ∞
(3,6) = D = 3 => 3 = 2 x 1 si 6 = 2 x 3 cu (1,3)=1; (3,9) = D = 3 => 3 = 3 x 1 si 6 = 3 x 2 cu (1,3)=1l ... ∞
(4,2) = D = 2 => 4 = 2 x 2 si 2 = 2 x 1 cu (1,2)=1; (4,6) = D = 2 => 4 = 2 x 2 si 6 = 2 x 3 cu (2,3)=1; ... ∞
.......
∞
Dar cel mai mic divizor comun?... 1 pentru toata lumea. Nu pare foarte interesant.
Cel mai mic multiplu comun
Notiunea de multiplu este un fel de invers al divizorului. Daca a se imparte exact la d, atunci d este un divizor al lui a, iar a este un multiplu al lui d. Cu litere: a = d x p.
Cum obtinem toti multiplii unui numar d? Prin adunare repetata sau numarand din d in d sau inmultind numarul, pe rand, cu 1, 2, 3, ... Trei moduri echivalente.
De exemplu, multiplii lui 6 sunt: 6, 12, 18, 24, ...
Ce inseamna multplu comun? Inseamna ca m este un multiplu si al lui a si al lui b. Adica se imparte exact si la a si la b, sau a si b sunt divizori ai lui m.
Cand ne gandim la multiplii lui a, vedem o multime:
A = { a, 2a, 3a, ... }
Multiplii lui b:
B = { b, 2b, 3b ... }
Multiplii comuni => intersectia celor doua multimi: A ∩ B
Cel mai mic multiplu comun: "primul" loc in care se intersecteaza cele doua multimi.
Cel mai mare multiplu comun? ∞ pentru toata lumea => mai putin interesant...
Atentie! Cel mai mic multiplu comun al numerelor a si b va fi notat: [a,b].
Exemplu concret: [6,9] = 18
6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
9, 18, 27, 36, ...
Considerand doua numere a si b, este clar ca produsul lor a x b este un multiplu comun. Dar nu este neaparat cel mai mic!
Cum tocmai am vazut mai sus: 6 x 9 = 54, dar [6,9] = 18
Cum putem "construi" [a,b]?
a si b, ca oricare pereche de numere, au un cel mai mare divizor comun (a,b) pe care il putem nota cu D.
Asa cum am aratat mai inainte, asta inseamna 3 lucruri:
a = D x p
b = D x q
(p,q) = 1 adica, p si q sunt prime intre ele
Observam acum de ce a x b este prea mare! a x b = D x p x D x q
Pentru cmmmc este suficient sa luam un singur D => [a,b] = D x p x q
Este D x p x q, intr-adevar, multiplu comun al lui a si b? Da! Iata de ce:
D x p x q = (D x p) x q = a x q => a | D x p x q
D x p x q = D x q x p = (D x q) x p = b x p => b | D x p x q
Si acum vedem minunea 😊: a x b = D x p x D x q = D x p x q x D = (D x p x q) x D = [a,b] x D = [a,b] x (a,b) pentru ca asa am notat noi: D = (a,b).
Evident: [a,b] = a x b doar atunci cand (a,b)=1, adica atunci cand numerele a si b sunt prime intre ele
a x b = [a,b] x (a,b)
Sau, echivalent:
[a,b] = a x b : (a,b)
|